配電線路電流集膚效應的數學模型及應用

集膚效應（又稱趨膚效應）是指導體中有交流電或者交變電磁場時，導體內部的電流分布不均勻的一種現象。隨著與導體表面的距離逐漸增加，導體內的電流密度呈指數遞減，即導體內的電流會集中在導體的表面。從與電流方向垂直的橫切面來看，導體的中心部分電流強度基本為零，即幾乎沒有電流流過，只在導體邊緣的部分會有電流。簡單而言就是電流集中在導體的“皮膚”部分，所以稱為集膚效應。產生這種效應的原因主要是變化的電磁場在導體內部產生了渦旋電場，與原來的電流相抵消。為了有效地利用導體材料和使之散熱，大電流母線常做成槽形或菱形，另外，在高壓輸配電線路中，利用鋼芯絞線代替鋁絞線，這樣既節省了鋁導體，又增加了導線的機械強度。

集膚效應最早在賀拉斯·蘭姆1883年的一份論文中提及，只限于球殼狀的導體。1885年，奧利弗·赫維賽德將其推廣到任何形狀的導體。趨膚效應使得導體的電阻隨著交流電的頻率增加而增加，并導致導線傳輸電流時效率減低，耗費金屬資源。在無線電頻率的設計、微波線路和電力傳輸系統方面都要考慮到趨膚效應的影響。

集膚效應在高壓、高頻交流電流中已有足夠重視，在低壓、低頻交流和直流電流中是否也有集膚效應呢？本文試圖從低壓配電的實踐，進行探索。

1987年，地區電業局 對我廠用電進行測評，測評結果顯示，變配電室位置合理，只有兩眼水井的供電回路三相五線，LJ—3x35+2x16，由于配電線路最長的一路長達360多米，電機由原設計37kw改為44kw，電壓降比較大，達12.24%。由于那時還是計劃經濟的末期，并沒有提到議事日程，采取改進措施。

1997年，改制后的公司為節能問題，解決這條供電回路的電壓降問題。通過討論，有兩個意見：一是加大線徑；二是在泵房就地增設電容器。

配電導線截面的選擇，一般需要滿足下面幾個條件：

1、按導線的允許載流量選擇——按發熱條件——與環境有關；

2、按導線的機械強度選擇——對于架空裸鋁線≥16mm? ；

3、按經濟電流密度選擇；

4、按允許的電壓損失選擇。

第1、2條已充分滿足要求，第3條經濟電流密度可按下式求得：

jm  =  Imax / Sj = √ [Ft   ( α/100+αx ) / (3ρTmaxβ / 1000 )]                 ( 1956年)

Imax ——線路最大負荷電流 ( A )；

Sj —— 經濟截面 ( mm?  )；

Ft  —— 每km線路的每平方mm截面的投資費用(元)；

α  ——  線路折舊及維修費的百分數；

αx —— 標準經濟效益系數；

ρ —— 導線電阻率 (  Ω · mm?  / km )—— 1/δ ；

Tmax ——線路年最大負荷利用小時數；

β —— 電能損耗的校正電價=bу K4 K5+Kz / Tmax ( P+α1 /100 )；

Kz =K1 K2 K3 K4 K5( 1+f  )；

bу—— 補充發電設備的煤耗費（元 / kWh）；

α1——發、送、變電設備的年折舊及維修費的百分數；

P—— 線路輸送功率（kW）；

Kz —— 補償線路每千瓦功率損耗所需增加的發、送、變電設備的投資。

K1—— 每千瓦補充發電設備的投資；

K2—— 線路同時系數；

——線路在系統最大負荷時的功率損耗/線路的最大功率損耗；

K3 —— 電力系統備用容量系數，約為1.1~1.2，

—— 發電設備容量/電力系統最大負荷；

K4—— 線路中功率損耗系數（網損系數）

K5—— 廠用電系數；

f  ——  輸送一千瓦電力所需電力網投資與一千瓦發電設備投資的比值。

這個公式源于歐姆定律I=U/R、電功率P=U I= I? R=U?/ R和三相四線輸電的線損理論；由于 I? 的存在，就有了在全部費用中求最小值的條件。顯然，這個公式存在很大的特殊性、偶然性。

以上計算經濟電流密度的公式，是我國1956年由電力部頒布的經濟電流密度標準的依據，這個標準一直沿用至今，并擴展至配電線路：

     

隨著電力工業的發展，和超高壓輸電的新問題，經濟電流密度的計算公式有了新的改進：                 

j m =  √ {1000( Kt — Kt Fj Kj + Fz )Ft / [3( Tmax +8760 Kk ) roδ ] }；

  

Fj —— 國家曾在1985年規定輸電線路按35年，即1/35≈0.02857；

Fz —— 可以按企業全部固定資產，也可以按與線路關聯的線桿，木桿30年，鐵塔、水泥桿40年；

8760——365x24(全年小時數)；

目前，國外對經濟電流密度作了改進，并給出了具體數據：

           

        這個成果按電壓和線路長短對經濟電流密度作了調整，但沒有明確材質，大概是鋁線，前提是超高壓送電。

經濟電流密度是一個很敏感的話題，特別對于方案的決策起著舉足輕重的作用。但是由于輸電線路是一個諸多因素構成的系統工程，各種因素的相關性不斷變化，因此，經濟電流密度只是一個概念。

在高壓輸電中產生的電暈現象，是通過放電，造成電流損失。為了減少電暈損耗采取的措施 ，主要是增大輸電線的導線半徑，提高輸電線的起始電暈電壓數值，使之在正常天氣條件下不發生電暈放電。對超高壓輸電，減少電暈損耗的主要措施是采用分裂導線。而分裂導線，就是將一相導線分離成2~4根。

電流的經濟密度，研究的方向是高壓輸電線路的課題，不能簡單的應用到低壓配電線路。

關于低壓配電線路經濟電流密度的討論：

1、線損隨導線截面積增加而呈非線性減少，隨長度增加呈線性增加，與電費關聯；

2、一次費用隨導線長度和截面積增加而呈線性增加，與材料費、安裝費關聯；

3、其他費用不考慮。

關于加大線徑問題，也有幾個方案，如使用電纜；將線徑改為鋁絞線LJ—3x70或3x95，如果單從允許載流量考慮，再敷設LJ—3x35，兩路并聯，就相當于一路LJ—3X95。下面是一份發表于1959年的LJ型裸鋁絞線的允許載流量參考數值表：

 

為什么導線的允許載流量與導線的截面積不成簡單的正比呢？我們試圖從電流的集膚效應并建立一個數學模型來解釋這一現象。

根據集膚效應的定義，導線的允許載流量與導線的周長和截面積關聯：

f (允許載流量)= aπ(d/2)? + bπd + c

π(d/2)?  =πd?/4 — 導線截面積，直接套用導線截面積；

πd — 導線圓周長，由導線面積求得導線直徑d；

a — 每mm?截面面積的電流平均密度；

b — 每mm截面周長的電流平均集度；

c — 取0，因為從極限方面考慮，與導線截面無關的電流不可思議。

由于試驗條件的隨機性，導線的股數不明確，數據的相關性不盡嚴密，但不妨礙找出規律性的物理性質。

對于裸銅絞線，戶外25℃時，將

TJ-10和25相關數據代入方程，解得a=3.24；b=5.584。

TJ-95和150相關數據代入方程，解得a=1.584；b=7.655。

對于裸鋁導線，戶外25℃時，將

LJ-10和25相關數據代入方程，解得a=1.786；b=5.098。

LJ-95和150相關數據代入方程，解得a=1.032；b=6.569。

對于BBX導線，穿塑料管25℃時，將

導線截面10和25mm? 相關數據代入方程； 解得a=0.16；b=5.923。

導線截面95和150mm? 相關數據代入方程；解得a=0.478；b=5.718。

對于BBLX導線，穿塑料管25℃時，將

導線截面10和25mm? 相關數據代入方程；解得a=0.436；b=3.447。

導線截面95和150mm? 相關數據代入方程；解得a=0.943；b=2.267。

從以上結果可以看出，電流與導線截面周長關聯性大，而與截面積關聯小；導線截面的無量綱幾何特性是：當直徑等于4時，周長等于4π，面積也等于4π；當直徑小于4時，周長大于面積，當直徑大于4時，周長小于面積。因此，導線截面積愈大，則周長與面積比值愈小。

這個低壓交流電流集膚效應的數學模型存在如下問題，有待繼續研究：

1、圓周是以單股導線為依據，實際上導線一般為多股；

2、裸導線隨截面積增加，電流平均密度減少，電流集度增加；

3、絕緣穿管導線隨截面積增加，電流平均密度增加，電流集度減少；

4、這個數學模型是以允許載流量的電流分布，推廣到一般電流分布。

電流集膚效應的經濟意義就在于小截面導線的允許電流密度大于大截面導線的允許電流密度。在導線滿足機械強度的要求下，以多路或分裂導線的形式布設低壓配電線路。

導線中電流的經濟密度與允許密度是不同的范疇，多路配線與單純加大線徑的線路電壓降有什么不同呢？哪一種做法更好呢？下面以我公司一路深井泵的用電按不同的配線進行計算，分別求出電壓損失：

三相線路集中負荷電壓降計算公式：

ΔU = 1000P ( r L+ x tanΦL ) / U；

P—負荷功率  kW  取37；

L—線路長km  取0.375；

r —交流線路導線有效電阻 Ω ；

x —交流線路導線感抗 ，與布線方式關聯  Ω ；

Φ —電壓與電流的相位差，由功率因數求得，取36°52"；

U —起始線電壓按 380V。

1、一路 LJ — 3x35+2x16；r =0.92      x = 0.322     ΔU = 42.41V=11.16%U

2、一路 LJ — 3x70+2x16；r =0.46      x = 0.299      ΔU = 24.98V=  6.57%U

3、二路 LJ — 3x35+2x16；r =0.92      x = 0.322     ΔU = 21.21V=  5.58%U

4、一路 LJ — 3x95+2x16；r =0.34      x = 0.289     ΔU = 20.328V=5.35%U

5、一路 LJ — 3x35+2x16，r =0.92      x = 0.322     P=15.88kW     ΔU = 18.20V

加一路 LJ — 3x50；r =0.64      x = 0.311      P=21.12kW     ΔU = 18.20V=4.79%U

通過以上計算，采用方案3較為理想，當末端電壓升高后，電流相應減少，電損進一步減少。在確定改造方案時，由于地下水位下降，潛水電機已改為 44 kW，采用方案3兩路并聯配電，電損在6%左右，接著又增設補償電容器，線損不到4%、電流一并減少。

從經濟運行考慮，P=UI，這條配電線路的線損率每增加1%，每天運行10小時，每天損失增加2~3元（考慮谷、峰電價的因素），特別是電價走強的趨勢下，可以采用增加變壓器或加大線徑、多路并聯的形式，綜合考慮，設計廠區配電系統，但是有關電壓降的規定允許個別特別遠的電動機的電壓偏移-8~-10%，這個電損是相當大的。

由于交流配電線路的線損因素的感抗與功率因數有關，通過增設補償電容器也可以減少約15%的線損，同時使電流降低，因此，加裝電容器不但減少線損，也可以改善供電質量。注意：補償電容器不是無償的，也要耗電。

下面再提出直流配電線路是否也存在集膚效應的問題：

  

上面是一張銅、鋁矩形截面母線交、直流載流量對照表，從表中可以看出，截面積在120mm?以下，是一個數值，大規格雖有偏離，但絕不是線性變化。其中是否也存在集膚效應，我們可以從集膚效應的理論由高壓到低壓，由高頻到低頻，由交流到直流來分析，是不言而喻的。

以上是我們在實踐中的一點體會，其主要作用是概念性的，集膚效應的數學模型，也是利用現有的試驗數據進行的猜想而已，一些建議也是有關文獻所倡導的，也許這個提法早已有過，也許不符合集膚效應的原理，也許這個理念過于膚淺。總之，拋磚引玉，希望大家給以重視并參與討。